大学物理部分重要公式
本文最后更新于：2023-02-13 20:39:31 UTC+08:00
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2 热学
6 气体动理论
若系统在变化过程中经历的每一状态都无限接近于平衡态，则此过程称准静态过程。
状态图上的点为平衡态，曲线为准静态过程。非准静态过程不能用曲线描述。
热力学第零定律：如果两个热学系统中的每一个都与第三个系统的某一平衡态处于热平衡，则此两系统必定也处于热平衡（温度 \(T\) 相同）。
摄氏温标 \(t\) ，热力学温标 $T = t + 273.15K $。
🔺理想气体状态方程 \[ PV = \nu RT,\ R = 8.31\text{J}\cdot \text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \] \[ P = nkT,\ k = 1.38\times 10 ^{-23}\text{J} \cdot\text{K}^{-1} \]
\(\nu\) 气体物质的量（\(\text{mol}\)）， \(n = \frac NV\) 分子数密度（单位体积内的分子数，单位 \(\text{m}^{-3}\) ），$ R = N_A k $。
理想气体的平均速度 \[ \overline{v_x^2} = \frac{\sum\limits_i n_i V v_{i x}^2}{n V} \] 理想气体的压强（在一个方向上） \[ P = nm\overline{v_x^2} \] 🔺理想气体的压强 \[ P = \frac 13 nm\overline{v^2} = \frac 23 n\overline{\varepsilon_{k,t}} \] 🔺分子的平均平动动能（另有转动动能） \[ \overline{\varepsilon_{k,t}} = \frac 12 m\overline{v^2} = \frac 32 kT \]
方均根速率 \[ \sqrt{\overline {v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} \] \(\mu\) 摩尔质量（注意单位 \(\text{kg}\cdot \text{mol}^{-1}\)，\(\text{g}\) 需换算成 \(\text{kg}\)） 。\(T = 0^{\circ}\) 时，氧气分子 \(\sqrt{\overline {v^2}} = 461 \text{m}/\text{s}\)，氢气分子 \(\sqrt{\overline {v^2}} = 1.84\times 10^3 \text{m}/\text{s}\)。
分子的自由度
分子种类 \(t\) \(r\) \(s\) $ i = t + r + s $ 单原子分子 \(3\) \(0\) \(0\) \(3\) 刚性双原子分子 \(3\) \(2\) \(0\) \(5\) 非刚性双原子分子 \(3\) \(2\) \(1\) \(6\) 刚性多(\(n\))原子分子 \(3\) \(3\) \(0\) \(6\) 非刚性多(\(n\))原子分子 \(3\) \(3\) \(3n - 6\) \(3n\) 分子平均平动动能 \(\overline{\varepsilon_{k,t}} = \frac t2kT\) ，平均转动动能 \(\overline{\varepsilon_{k,r}} = \frac r2kT\) ，平均振动动能 \(\overline{\varepsilon_{k,s}} = \frac s2kT\) ，平均势能 \(\overline{\varepsilon_p} = \overline{\varepsilon_{k,s}} = \frac s2kT\) 。
🔺一个分子的平均总动能 \[ \overline{\varepsilon_k} = \frac i2kT = \frac{t + r + s}2kT \] 🔺一个分子的平均总能量（势能 $ = s2kT $） \[ \overline{\varepsilon} = \overline{\varepsilon_k} + \overline{\varepsilon_p} = \frac{t + r + 2s}2kT \] 气体内能 \[ E = \frac \nu 2 (t + r + 2s) RT = \frac \nu 2 (i + s) RT \]
🔺麦克斯韦速率分布函数：表示处在温度 \(T\) 的平衡态下的理想气体，在 \(v\) 附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的比例。 \[ f(v) = \frac{\text dN}{N\text dv} = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac 32}\cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\cdot v^2 \]
最概然速率 \[ v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{\mu}} \]
\[ v_p = \sqrt{\frac{2RT}{\mu}} < \overline v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} < \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} \]
// 玻尔兹曼分布率 & 分子运输 - 暂时跳过
7 热力学基础
热力学第一定律：\(Q\) 系统吸收的热量，\(\Delta E\) 系统内能的增量，\(A\) 系统对外界做的功。 \[ Q = \Delta E + A \] 微分形式 \[ \delta Q = \text dE + \delta A \]
系统通过一个有限的准静态过程，体积由 \(V_1\) 变化到 \(V_2\) ，系统对外做的总功 \[ A = \int \delta A = \int_{V_1}^{V_2} P\text dV \]
热容：物体的温度升高 \(1K\) 所需要吸收的能量（单位 \(\text{J/K}\)） \[ C = \frac{\delta Q}{\text dT} \] 摩尔热容（单位 \(\text{J/(mod}\cdot\text{K)}\)） \[ C_m = \frac 1\nu \frac{\delta Q}{\text dT} \] 比热[容] $ c = 1mC $，单位 \(\text{J/(kg}\cdot \text{K)}\)。
定压热容，摩尔定压热容，定容热容，摩尔定容热容 \[ C_P = \left(\frac{\delta Q}{\text dT}\right)_P,\ C_{P,m} = \frac 1\nu\left(\frac{\delta Q}{\text dT}\right)_P,\ C_V = \left(\frac{\delta Q}{\text dT}\right)_V,\ C_{V,m} = \frac 1\nu\left(\frac{\delta Q}{\text dT}\right)_V \] 系统在有限过程中所吸收的热量 \[ Q = \int_{T_1}^{T_2} C\text dT = \nu\int_{T_1}^{T_2}C_m\text dT \]
\[ \delta Q = \text dE + \delta A = \text dE + P\text dV = \frac {i + s}2\nu R\text dT + P\text dV \]
理想气体的摩尔定容热容 \[ C_{V,m} = \frac{\text dE_{m}}{\text dT} = \frac 12 (i + s)R \] 理想气体的摩尔定压热容 \[ C_{P,m} = C_{V,m} + R = \frac 12(i + s + 2) R \]
\[ C_P = C_V + \nu R \]
摩尔热容比/比热[容]比 \[ \gamma = \frac {C_{P,m}}{C_{V,m}} = 1 + \frac R{C_{V,m}} \]
等容 / 等体过程 \[ Q = \Delta E = \nu C_{V,m} (T_2 - T_1),\ A = 0 \] 等压过程 \[ Q = \nu C_{P,m}(T_2 - T_1),\ A = \nu R(T_2 - T_1),\ \Delta E = \nu C_{V,m}(T_2 - T_1) \] 等温过程 \[ \Delta E = 0,\ Q = A = \nu RT \ln \frac{V_2}{V_1} = \nu RT \ln \frac{P_1}{P_2} \] 绝热方程（准静态）\(C_1, C_2, C_3\) 三个不同常数 \[ PV^\gamma = C_1 \]
\[ TV^{\gamma - 1} = C_2 \]
\[ P^{\gamma - 1}T^{-\gamma} = C_3 \]
绝热过程 \[ Q = 0,\ A = \frac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma - 1} = -\Delta E = -\nu C_{V,m}(T_2-T_1) \]
\[ PV^n = 常量 \]
等压\(n=0\)，等温\(n=1\)，绝热\(n=\gamma\)，等容\(n=\infty\)且\(V = 1\)。
循环过程：系统经历一系列变化又回到了初始状态的过程。正循环（瞬时间）获得净功（对外做功）。
热机效率
\[
\eta = \frac{A_净}{Q_{总吸}} = 1 - \frac{\left|{Q_2}\right|}{Q_1}
\] 卡诺循环：$ 1, 3 $ 等温，$ 2, 4 $ 绝热
\[
\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}
\] 制冷系数
\[
\omega = \frac{Q_2}{\left | {A_净}\right |} = \frac{Q_2}{\left | {Q_1}\right |-Q_2}
\] 卡诺制冷机
\[
\omega_C = \frac{T_2}{T_1 - T_2}
\]热力学第二定律：
1）克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。
2）开尔文表述：不可能制成一种循环动作的热机，只从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功而不产生其它任何变化。
等价说法：第二类永动机（效率 $ 100 % $ ，不违反热力学第一定律）是不可能制成的。
微观解释（统计规律）：一切自然宏观过程总是沿着使系统的无序性增大的方向进行。
可逆&不可逆过程：若在某过程中系统由 \(a\) 态变化到 \(b\) 态。如能使系统由 \(b\) 态回到 \(a\) 态，且周围一切也各自恢复原状，那么 \(ab\) 过程称为可逆过程 。如果系统恢复不了原态，或恢复了原态却引起了外界的变化，那么 \(ab\) 过程称为不可逆过程。
卡诺定理： \[ \eta_可 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \]
\[ \eta_{不可} < \eta_可 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \]
\[ \eta_C \leq 1 - \frac{T_2}{T_1} \]
对可逆卡诺循环 \[ \eta = 1 - \frac{\left|{Q_2}\right|}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \]
\[ \frac{Q_1}{T_1} = \frac{\left|{Q_2}\right|}{T_2},\ 或\ \frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} = 0 \]
对任意可逆循环 \[ \oint \frac{\delta Q}{T} = 0 \] 对可逆过程的熵（态函数，只与状态有关，与变化路径无关，单位 \(\text{J/K}\) ）： \[ S_2 - S_1 = \int\limits_1^2 \frac{\delta Q}{T} \]
\[ \text dS = \frac{\delta Q}{T} \]
对任意不可逆过程的熵（积分与变化路径有关）： \[ S_2 - S_1 > \int\limits_1^2 \frac{\delta Q}{T} \]
\[ \text dS > \frac{\delta Q}{T} \]
综上 \[ S_2 - S_1 \geq \int\limits_1^2 \frac{\delta Q}{T} \]
\[ \text dS \geq \frac{\delta Q}{T} \]
熵增加原理：绝热过程 \(\delta Q = 0\) \[ \text dS \geq 0 \] 计算不可逆过程的熵变化：转换成一个或多个（等体 / 等温 / 等压 / 绝热）可逆过程分别计算 \(\Delta S\)。
温熵图（\(T-S\) 图）
曲线下面积为吸的热 \(Q\) ，往熵增大方向 \(Q > 0\) 。
功转化为热：\(c\) 水的比热 \[ \Delta S_水 = \int\frac{\delta Q}{T} = \int_{T_1}^{T_2}\frac{mc\text dT}{T} = mc\ln\frac{T_2}{T_1} > 0 \]
孤立系统 \(A,\ B\) 传热（ \(T_A > T_B\) ）： \[ \text dS = \text dS_A + \text dS_B = \left|{\delta Q}\right|\left(\frac 1{T_b} - \frac 1{T_A}\right) > 0 \]
气体的自由膨胀（不对外界做功， $ A = E = Q = 0$ ）： \[ \Delta S = \nu R\ln\frac{V_2}{V_1} > 0 \]
玻尔兹曼关系式（ \(\Omega\) 宏观态的热力学概率）： \[ S = k\ln \Omega \]
3 电磁学
8 静电场
电子是具有最小电荷量的自由粒子 \[ e = 1.602 \times 10^{-19} \text C \] 其他微观粒子的电荷量都是电子电荷量的整数倍 \[ q = \pm ne,\ \ \ n = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots \] 电量是相对论不变量，一个电荷的电量与他的运动状态无关。
电荷遵从电荷守恒定律：在和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。
库仑定律：在真空中，两静止点电荷 \(q_1,\ q_2\) 间的相互作用力 \[ \vec F = k\frac{q_1q_2}{r^2}\vec {e_r} = \frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon_0r^2}\vec {e_r} \] 比例系数 \[ k = \frac 1{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times 10^9\ \text {N}\cdot\text{m}^2\text{/C}^2 \] 真空介电常量 / 真空电容率 \[ \varepsilon_0 = 8.8542 \times 10^{-12} \ \text{C}^2\text{/(N}\cdot\text{m}^2\text) \] 电场力叠加原理 \[ \vec F = \sum\limits_{i=1}^n \vec {F_i} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{q_iq_0}{4\pi\varepsilon_0 r_{i0}^2}\vec{e_{r_{i0}}} \]
电场强度（单位 \(\text {N/C}\) 或 \(\text{V/m}\) ）：点电荷 \(q\) 产生的电场，检验电荷 \(q_0\) \[ \vec E = \frac{\vec F}{q_0} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e_r} \] 场强叠加原理 \[ \vec E = \sum\limits_{i = 1}^n \vec{E_i} \]
\[ \vec E = \int \text dE = \int \frac{\text dq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec {e_r} \]
电荷体密度、电荷面密度、电荷线密度 \[ \rho = \lim_{\Delta V \rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta V} = \frac{\text dq}{\text dV},\ \ \sigma = \lim_{\Delta S \rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta S} = \frac{\text dq}{\text dS},\ \ \lambda = \lim_{\Delta l \rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta l} = \frac{\text dq}{\text dl} \]
\[ \vec E = \int \frac{\rho\text dV}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec {e_r},\ \ \vec E = \int \frac{\sigma\text dS}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec {e_r},\ \ \vec E = \int \frac{\lambda\text dl}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec {e_r} \]
空间场强 \[ E_x = \int \text d\vec{E_x},\ \ E_y = \int \text d\vec{E_y},\ \ E_z = \int \text d\vec{E_z},\ \ \vec E = E_x\vec i + E_y \vec j + E_z \vec k \]
垂直场强方向取面积元 \(\text dS_{\perp}\) ，穿过 \(\text dS_{\perp}\) 的电场线根数为 \(\text dN\) ： \[ E = \frac{\text dN}{\text dS_{\perp}} \] 电通量：通过电场中任一给定面的电场线总根数，单位 \(\text{N}\cdot\text{m}^2\text{/C}\) 。
对匀强电场（面法线 \(\vec n\) 和 \(\vec E\) 成 \(\theta\) 角） \[ \Phi_E = ES\cos \theta = \vec E \cdot \vec S \] 对非均匀场 \[ \Phi_E = \int_S \vec E \cdot \text d\vec S \] 对闭合曲面 \[ \Phi_E = \oint_S \vec E \cdot \text d\vec S \] 规定闭合曲面的法线自内向外为正方向。
🔺高斯定理：在真空中，通过任意闭合曲面 \(S\) （通常也称为高斯面）的电场强度通量 \(\Phi_E\) ，等于该闭合曲面所包围的所有电荷代数和的 \(\frac {1}{\varepsilon_0}\) 倍。 \[ \Phi_E = \oint_S \vec E \cdot \text d\vec S = \frac 1{\varepsilon_0}\sum_{S_内}q_i \] 定理导出：通过任意一个包围点电荷的闭合曲面的电通量与曲面无关 \[ \Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0} \] 静电场是有源场：正电荷是发出电场线的源，负电荷是接受电场线的源。
对均匀带电球面 \[ E = \begin{cases} 0 & r < R\\ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} & r > R \end{cases} \] 对均匀带电球体 \[ E = \begin{cases} \frac{Qr}{4\pi \varepsilon_0 R^3} & r < R\\ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} & r > R \end{cases} \] 对均匀带电圆柱面 \[ E = \begin{cases} 0 & r < R\\ \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} & r > R \end{cases} \] 对均匀带电圆柱体 \[ E = \begin{cases} \frac{\lambda r}{2\pi \varepsilon_0 R^2} & r < R\\ \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} & r > R \end{cases} \] 对均匀带电无限大平面 \[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]
电场力做功与路径无关，电场力是保守力，静电场是保守力场 \[ A = \int_a^b \vec F \cdot \text dr = \frac{q_0q}{4\pi \varepsilon _0}\left(\frac 1{r_a} - \frac 1{r_b}\right) \] 静电场的环路定理 \[ A = \oint_L q_0\vec E\cdot \text d\vec l = 0 \] 若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。
电势差 \[ V_a - V_b = \int_a^b \vec E \cdot \text d\vec l \] 电场中任意点 \(P\) 的电势（单位：伏特 \(\text V\) 或 \(\text{J/C}\) ） \[ V_P = \int_P^b \vec E \cdot \text d\vec l\ \ (V_b = 0) \] 电势叠加原理（电势零点在无穷远处） \[ V_P = \sum\limits_i V_i = \sum\limits_i \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0r_i} = \int \frac{\text dq}{4\pi \varepsilon_0 r} \] 做功 \[ A_{ab} = q(V_a - V_b) \] 电势梯度（\(\text{\bf grad} V\)） \[ E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\ E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\ E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} \]
\[ \vec E = -\left(\frac{\partial}{\partial x}\vec i + \frac{\partial}{\partial y}\vec j + \frac{\partial}{\partial z}\vec k\right)V = -\text{\bf grad}V = -\nabla V \]
导体的静电平衡：导体的表面和内部都没有电荷的定向移动，导体内部 \(\vec E = 0\) ，外表面 \(\vec E \perp\) 表面，电荷全分布在导体外表面上。导体是等势体，导体表面是等势面。
🔺导体表面附近 \(\vec E\) 的大小与该处的面电荷密度 \(\sigma\) 成正比 \[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \] 孤立导体表面上各处的面电荷密度 \(\sigma\) 与各处表面曲率半径 \(R\) 成反比（ \(R\) 小时：尖端放电） \[ \sigma \propto \frac 1R \] 导体空腔内电荷移动不影响导体外表面面电荷分布。
电介质：绝缘体，不导电；在外电场中，\(\vec E_{内} \neq 0\) 。正负电荷重心不重合的分子称为有极分子 / 极性分子，外电场中取向极化；正负电荷重心重合的分子称为无极分子 / 非极性分子，外电场中（电）位移极化。
电极化强度矢量：单位体积内所有分子的电偶极矩之矢量和（单位 \(\text{C/m}^\text 2\) ） \[ \vec P = \frac{\sum \vec{p_i}}{\Delta V} \] 对各向同性的电介质有（\(\varepsilon_r\) 相对介电常数， \(\chi_e = \varepsilon_r - 1\) 电极化率， \(\vec E^{\prime}\) 束缚电荷产生的电场） \[ \vec P = \varepsilon_0 (\varepsilon_r - 1)\vec E = \chi_e \varepsilon_0 \vec E \ \ (\vec E = \vec E_{外} + \vec E^{\prime}) \] 当 \(\vec E\) 足够强时，分子中正负电荷被拉开，成为自由电荷，绝缘体变成导体，电介质被击穿。电介质所能承受不被击穿的最大电场强度称为击穿场强。
两个平行导体平板，电介质各向同性，未放入电介质时两极板间的电势差为 \(V_0\) ，放入电介质后两极板间的电势差为 \(V\) ，电介质的相对介电常数 \(\varepsilon_r\ (\varepsilon_r > 1)\) ，则有
\[ V = \frac{V_0}{\varepsilon_r} \]
\[ \vec E_0 = \varepsilon_r \vec E \]
🔺
\[ \oint \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec E \cdot \text d\vec S = \sum q_{自} \]
令 \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) ，\(\vec D = \varepsilon \vec E\) （ \(\vec D\) 单位 \(\text {C/m}^\text 2\) ），🔺有介质存在时的高斯定理 \[ \oint \vec D\cdot\text d\vec S = \sum q_{自} \]
\[ \vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P \]
束缚电荷面密度 \(\sigma^{\prime}\) 与该处电极化强度 \(\vec P\) 在表面法线 \(\vec e_n\) 上的分量值相等 \[ \sigma^{\prime} = \frac{\text dq^{\prime}}{\text dS_{表面}} = \vec P\cdot \vec e_n \]
电容：导体每升高一个单位的电势所需要的电量，单位法拉 \(\text {F}\) 。 \[ 1\ \text F = 1\ \text{C/V},\ \ 1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text F,\ \ 1\ \text{pF} = 10^{-12}\ \text F \] 孤立导体的电容 \[ C = \frac qV \] 带电导球体电容 \[ C = 4\pi\varepsilon_0R \] 🔺电容器电容 \[ C = \frac q{\Delta V} = \frac q{V_+ - V_-} \] 平行板电容器电容 \[ C = \frac{\varepsilon S}{d} \] 圆柱形电容器电容( \(L \gg R_B - R_A\) ) \[ C = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln \frac{R_B}{R_A}}\cdot L \] 球形电容器电容 \[ C = \frac{4\pi\varepsilon R_A R_B}{R_B - R_A} \] 电容器并联 \[ C = C_1 + C_2 + \cdots + C_k \] 电容器串联 \[ \frac 1C = \frac 1{C_1} + \frac 1{C_2} + \cdots + \frac 1{C_k} \] 串联耐压强度 \[ V = V_1 + V_2 + \cdots + V_k \] 间距 \(b\) 的平行板电容器之间放入厚度为 \(t\) ，\(\varepsilon_r\) 的平板均匀电介质 \[ C = \frac{\varepsilon_0 S}{b - \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}t} \]
电容器带有电量 \(Q\) 时具有的能量 \[ W = \frac 12 \frac {Q^2}{C} = \frac 12 CV^2 = \frac 12 QV \] 电场能量 \[ W_e = \frac 12\varepsilon E^2 V_{体积} \] 电场能量密度：单位体积内所储存电场能量 \[ w_e = \frac 12\varepsilon E^2 = \frac 12 \vec D \cdot \vec E \] 🔺电场总能量 \[ W = \int \frac 12 \varepsilon E^2 \text dV = \int \frac 12 \vec D\cdot \vec E \text dV \]
静电势能：电荷在静电场中具有的势能。电场力做功与电荷电势能减少相等（ \(A = -\Delta W\) ）。
点电荷 \(q\) 在电场中具有电势能 \[ W = qV \] 电偶极子在匀强电场中的静电势能 \[ W = -\vec p\cdot \vec E = -q\vec l\cdot \vec E \]
电荷系统的静电能：将系统中各电荷从现有的位置到彼此分散到无限远的过程中，它们之间的静电力所做的功；或将各电荷从无限远移动到现有位置过程中，外力做的功 。 \[ W = \frac 12 \sum\limits_{i = 1}^{n} q_iV_i \] 若是电荷连续分布的带电体 \[ W = \frac 12\int_q V\text dq \]
9 恒定磁场
在磁场中的运动电荷、载流导体、磁性介质等受磁场力作用。磁场具有能量：运动电荷、载流导体在磁场中运动时，磁力做功。
磁感应强度 \(\vec B\) ：描述磁场强弱及方向的物理量（单位特斯拉 \(\text T\) 或高斯 \(1\ \text T = 10^4 \text G\) ）。方向：运动电荷以 \(\vec v\) 进入磁场，受力 \(\vec F = 0\) 时， \(\vec v\) 的方向即为 \(\vec B\) 的方向。当 \(\vec v \perp \vec B\) 时，\(F = F_{\max}\) \[ B = \frac{F_{\max}}{qv} \] 【🔺公式】对任意 \(\vec v\) \[ \vec F = q\vec v \times \vec B \]
\[ F = qvB\sin \theta \]
【🔺公式】毕奥-萨伐尔定律：任一电流激发的磁场 = 各小段电流产生的磁场的叠加 \[ \text d\vec B = K\frac{I\text dl \sin \theta}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\text d\vec l\times \vec r}{r^3} \] 其中比例系数 \[ K = \frac{\mu_0}{4\pi} \] 真空的磁导率 \[ \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \text{Tm/A} \] 【🔺推论】距离无限长导线 \(R\) 处磁场 \[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \]
载流圆线圈轴线上的磁场 \[ B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{\frac 32}} \] 【🔺公式】磁偶极矩（ \(\vec n\) 与 \(I\) 的方向成右手关系） \[ \vec P_m = IS\vec n \] \(N\) 匝线圈 \[ \vec P_m = NIS\vec n = N \vec p_m \] \(x \gg R\) 时，载流圆线圈轴线上磁场 \[ B = \frac{\mu_0 IR^2}{2x^3} = \frac{\mu_0 IS}{2\pi x^3} \]
\[ \vec B = \frac{\mu_0 \vec P_m}{2\pi x^3} \]
【推论】运动电荷的磁场（ \(n\) 载流子密度， \(\text dN = nS\ \text dl\) ）
\[ \text d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{nqS\ \text dl\ \vec v\times\vec r}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\ \text dN\ \vec v \times \vec r}{r^3} \] 单个（低速）运动电荷所激发的磁场 \[ \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\ \vec v \times \vec r}{r^3} \]
【🔺公式】磁通密度：垂直通过面积元 \(\text dS\) 的磁感应线数量为 \(\text dN_S\) \[ B = \frac{\text dN_S}{\text dS} \] 【🔺公式】磁通量：通过磁场中任意一个给定面的磁感应线总数（单位：韦伯 \(\text{Wb}\) ，\(1\,\text{T} = 1\,\text{Wb/m}^{\text{2}}\) ） \[ \text d\Phi = \vec B \cdot \text d \vec S = B\cos\theta \cdot \text dS \] 闭合曲面磁通量：法线向外为正方向 \[ \Phi = \oint_S \vec B \cdot \text d \vec S \]
【🔺公式】磁场的高斯定理：一个任意闭合曲面的磁通量总是零 \[ \oint_S \vec B \cdot \text d \vec S = 0 \] 高斯定理表明磁场是无源场。
【推论】稳恒磁场的磁力线是连续的闭合曲线；磁场中以任一闭合曲线 \(L\) 为边界的所有曲面的磁通量相等。
【🔺公式】安培环路定理：磁感应强度沿任意闭合曲线 \(L\) 的线积分等于穿过这条闭合曲线的所有传导电流的代数和 \[ \oint_L \vec B \cdot \text d \vec l = \mu_0 \sum I_i \] 方向：当 \(I\) 与 \(L\) 绕行方向成右手关系时， \(I > 0\) ，否则 \(I < 0\) 。
安培环路定理表明磁场是有旋场。
【🔺公式】洛伦兹力：在匀强磁场中
\[ \vec F = q \vec v_0 \times \vec B \]
若 \(\vec v \bot \vec B\)，作匀速圆周运动，半径
\[ R = \frac{mv}{qB} \]
周期
\[ T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \]
回旋频率
\[ f = \frac 1T = \frac{qB}{2\pi m} \]
若 \(\vec v /\kern -0.3em / \vec B\)，作匀速直线运动。
上述两运动合成：螺旋线。螺距
\[ h = v_{/\kern -0.15em/} T = \frac{2\pi mv_{/\kern -0.15em/}}{qB} \]
半径
\[ R = \frac{mv_\bot}{qB} \]
【🔺公式】霍尔效应：上下极板电压
\[ U_H = avB = R_H \frac{IB}{b} \]
其中导体内电子数密度 \(n\)，霍尔系数
\[ R_H = \frac 1{ne} \]
安培力：载流导体在外磁场受到的磁力。
【🔺公式】安培定律
\[ \text d \vec F = I \text d \vec l \times \vec B \]
\[ \vec F = \int_0^l I \text d \vec l \times \vec B \]
【🔺公式】（线圈）磁偶极矩
\[ \vec p_m = IS \vec n \]
力矩
\[ \vec M = \vec p_m \times \vec B \]
磁介质：经磁化后能够影响磁场分布的物质。在外磁场 \(B_0\) 中
\[ \vec B = \vec B_0 + \vec B' \]
【🔺公式】相对磁导率
\[ \mu_r = \frac B{B_0} \]
分类：
- 顺磁质（弱磁性材质）：\(\mu_r > 1\)，氧、铝、钨 W、铂 Pt、铬 Cr
- 抗磁质（弱磁性材质）：\(\mu_r < 1\)，氮、水、铜、银、金、铋 Bi
- 铁磁质（强磁性材质）：\(\mu_r \gg 1\)，铁、钴 Co、镍 Ni
在外磁场 \(B_0\) 中，顺磁质产生顺磁性的主要原因是分子的固有磁矩
\[ \vec p_{分子} = \sum \vec p_{i轨道} + \sum \vec p_{i自旋} \]
抗磁质产生抗磁性的主要原因是分子的附加磁矩
\[ \Delta \vec p_{分子} = \sum_i \Delta \vec p_{mi} \]
磁化强度矢量 \(\vec M\)：单位体积内分子磁矩的矢量和
\[ \vec M = \frac {\sum \vec p_{mi}}{\Delta V} \]
【🔺公式】设磁化面电流为 \(I'\)，面电流密度为 \(i'\)
\[ \left|\vec M \right| = \frac{\left|\sum \vec p_{分子i}\right|}{\Delta V} = \frac{I'S}{lS} = \frac{I'}l = i' \]
对任意闭合路径，磁化强度矢量的环流
\[ \oint_L \vec M \cdot \text d \vec l = M \cdot l = i' \cdot l = \sum_{L内} I'_i \]
在有介质的空间，传导电流与磁化电流共同产生磁场
\[ \oint_L \vec B \cdot \text d \vec l = \mu_0 \sum_{L内} I_i + \mu_0 \sum_{L内} I'_i \]
🔺磁场强度
\[ \vec H = \frac {\vec B}{\mu_0} - \vec M \]
【🔺公式】有介质时的安培环路定理：沿任一闭合路径磁场强度的环流等于该闭合路径所包围的自由电流的代数和。
\[ \oint_L \vec H \cdot \text d \vec l = \sum_{L内} I_i \]
\(\chi_m\) 为介质磁化率。对各向同性的线性磁介质有
\[ \vec M = \chi_m \vec H \]
相对磁导率
\[ \mu_r = 1 + \chi_m \]
介质磁导率
\[ \mu = \mu_0(1 + \chi_m) = \mu_0 \mu_r \]
即
\[ \vec B = \mu \vec H \]
- 超导体：\(\chi_m = -1,\ \mu_r = 0\)
- 抗磁质：\(\chi_m < 0,\ \mu_r < 1\)
- 真空：\(\chi_m = 0,\ \mu_r = 1\)
- 顺磁质：\(\chi_m > 0,\ \mu_r > 1\)
【🔺推论】长为 \(l\) 的 \(N\) 匝螺线管（单位长度匝数 \(n = \frac Nl\)）通有电流 \(I\)，螺线管内有 \(\mu\) 的磁介质，管内磁场
\[ B = \mu nI = \mu \frac Nl I \]